Ao infinito e além....

O universo é finito na sua dimensão e infinito no tempo. O infinito não existe na natureza observável, não conhecemos nada que seja infinito.


Para viabilizar o conhecimento do Universo como o todo (matéria e energia), é preciso apostar que o Universo é constituído por apenas um único conjunto de estrelas: nas periferias da esfericidade do Sistema solar. Fora desse sistema não existiria mais nada. Tudo terminaria onde vemos as estrelas mais distantes e fracas. Depois disso, viria o inexistente (ausência de matéria e energia).

Assim enunciou a célebre lei: " Na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma".

O infinito de forma filosófica:




Na Grécia Antiga, havia um sujeitinho que gostava de provocar o pensamento de muitos de sua época através de situações absurdas que expunha as falhas no raciocínio: Zenão de Eleia. A ele são atribuídos diversos paradoxos, entre os quais se destacam os paradoxos do movimento. Infelizmente, tudo o que sabemos sobre esse filósofo saiu da boca de outros, mas mesmo assim podemos recuperar alguns de seus argumentos. Vamos a eles!

A dicotomia:

Um corredor precisa percorrer um trajeto de extensão qualquer; podemos supor 50 metros. Mas antes de correr os 50 metros, logicamente, ele precisa correr 1/2, 25. Prosseguindo o raciocínio, antes de 1/2 ele precisa percorrer 1/4, e então 1/8, 1/16, 1/32,... ao infinito. Portanto, ele nunca percorrerá os 50 metros.


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A tartaruga prodígio:


Este é famoso. Aquiles decide competir com uma tartaruga e, para tornar as coisas mais justas, dá uma vantagem de, suponhamos, 50 metros ao animal. Se Aquiles quiser ultrapassar o competidor, primeiro precisa percorrer o caminho que ele percorreu. Aquiles primeiro corre 50 metros, mas a tartaruga percorreu 0.9 metros nesse intervalo; agora Aquiles precisa correr 0.9 metros, enquanto a tartaruga já terá se distanciado mais um pouco, e assim repetidamente. Portanto, Aquiles nunca alcançará a tartaruga, havendo sempre um espaço entre eles.


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O estádio:


O texto de Aristóteles à respeito deste paradoxo é um tanto críptico e provavelmente errôneo, mas vamos a uma possível reconstrução. Considere o tempo e o espaço cada um composto por várias unidades bem definidas: 0, 1, 2, ...Imagine dois dardos movimentando-se em direções opostas com mesma velocidade, estando um acima do outro, no instante t = 0. No próximo instante, t = 1, cada um movimenta-se 1 unidade à frente, e portanto possuem duas unidades de espaço emparelhadas. Mas para chegar nessa situação, eles precisariam ter antes 1 unidade de espaço emparelhada, o que ocorreria no instante t = 0.5. Mas esse instante não é uma unidade válida! E mais: nesse tempo, cada dardo teria que ter percorrido um espaço de 0.5!

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A flecha:

Vamos supor agora que o tempo e espaço são contínuos, ou seja, há apenas momentos ("agoras") e nada mais. Uma flecha foi disparada por um arqueiro e, se capturarmos um momento qualquer, ela estará em repouso. Mas o tempo consiste apenas desses momentos, então a flecha sempre está em repouso.

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Solução:

Como discípulo de Parmênides, Zenão defendia as ideias do mestre de que o universo é imutável e o que nossos sentidos percebem são apenas uma forma de ilusão. Ele era contrário à dita pluralidade de movimento, e tentava validar seu ponto de vista assumindo que a pluralidade de movimento existe. Mas se continuarmos o raciocínio, veremos que essa premissa leva a resultados absurdos. É o tal reductio ad absurdum, redução ao absurdo.

Uma tentativa de contra-argumentar seria fazer como Diógenes e simplesmente levantar e andar, mostrando que o movimento existe, mas não basta. É inútil apontar um cenário mais fácil no qual não há problemas. Se Zenão utilizou o raciocínio lógico adequadamente, então é necessário mostrar por que o cenário apresentado possui problemas.



Garoto na bicicleta


Uma observação que você, estudante do século XXI, poderia levantar à respeito dos paradoxos de Aquiles e da dicotomia é o fato de que ter uma soma infinita não necessariamente leva a um número infinito. Em particular, de nossos estudos sobre progressões geométricas (LINK HERE) e limites sabemos que

1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1

Mesmo assim, ainda sobra espaço para dúvidas: estamos assumindo que Aquiles percorre 1/2 do caminho sem problemas, depois mais 1/4, 1/8, 1/16... sucessivamente. Mas e entre o início do percurso e 1/2? É mesmo válido somar as distâncias assim? Além disso, a noção matemática de limites é determinar o que acontece quando um parâmetro tende a algum valor, sem necessariamente assumir seu valor. Você pode sim calcular o limite de 1/x quando x tende ao infinito, mas não significa que x seja infinito.

E, claro, só beeeem depois de Zenão é que pudemos realizar esse cálculo em primeiro lugar. Como o infinito foi tratado pela matemática desde então e de que modo podemos usá-la para resolver os paradoxos?

Aquiles encontra-se no ponto 50, enquanto a tartaruga está no ponto 50.9 e locomovendo-se continuamente. A partir daí, Zenão propõe que o corredor precisa passar por todos os pontos: {50, ..., 50.9, 50.99, 50.9999, ...}. Ora, a própria proposição implica na impossibilidade de ultrapassagem: o ponto de ultrapassagem não está no conjunto, então é claro que Aquiles nunca realizará sua tarefa.

Entretanto, conforme aumentamos o número de 9's, aproximamo-nos cada vez mais de 51, assim como 0.999... = 1. Portanto, o conjunto é finito (mas incontável) e Aquiles pode sim ultrapassar a tartaruga passando pelo conjunto de pontos: {50, ..., 51}.